Calcolo Deviazione Standard Online
Calcola varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione di un insieme di dati.
Come Calcolare la Deviazione Standard
La deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno alla media. Più è alta, più i dati sono sparsi.
Formula (popolazione)
σ = √(Σ(xi − μ)² / N)
Dove μ è la media e N il numero totale di valori.
Formula (campione)
s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1))
Si divide per (n−1) invece di n per la correzione di Bessel.
Varianza
La varianza è il quadrato della deviazione standard: σ² o s². È utile per confronti e calcoli intermedi.
Coefficiente di variazione
Il rapporto tra deviazione standard e media, espresso in percentuale: CV = (σ / μ) × 100%. Utile per confrontare la variabilità di grandezze diverse.
Popolazione vs campione: quale usare?
Si usa la deviazione standard della popolazione (σ) quando i dati rappresentano l'intero insieme studiato, ad esempio i voti di tutti gli studenti di una classe. Si usa la deviazione standard campionaria (s) quando i dati sono un sottoinsieme estratto da una popolazione più grande, come un sondaggio su 1.000 persone per stimare l'opinione di milioni. La divisione per (n−1) nella formula campionaria (correzione di Bessel) compensa la tendenza a sottostimare la variabilità reale.
La regola empirica 68-95-99,7
Per dati con distribuzione normale (curva a campana), la deviazione standard ha un'interpretazione molto pratica: circa il 68% dei valori cade entro ±1σ dalla media, il 95% entro ±2σ, e il 99,7% entro ±3σ. Questa regola è usata nel controllo qualità industriale, nella finanza per valutare il rischio degli investimenti e in medicina per definire i valori “normali” degli esami del sangue. Un valore oltre 2σ dalla media è generalmente considerato statisticamente insolito.
Cos'è la Deviazione Standard
La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è una misura di dispersione statistica: indica quanto i valori di un insieme di dati si discostano in media dalla loro media aritmetica. Si indica con la lettera greca σ (sigma minuscola) per la popolazione e con s per il campione. Una deviazione standard piccola significa che i dati sono concentrati intorno alla media; una deviazione grande indica dati molto dispersi. È espressa nella stessa unità di misura dei dati originali, il che la rende immediatamente interpretabile (a differenza della varianza, che è in unità al quadrato).
Formula e Calcolo
Per una popolazione completa di N valori x₁, x₂, ..., xN con media μ: σ = √(Σ(xi − μ)² / N). Per un campione estratto da una popolazione (formula di Bessel, n−1 al denominatore): s = √(Σ(xi − x̄)² / (n−1)). La distinzione è importante: la formula con n−1 fornisce una stima non distorta della deviazione standard della popolazione quando si dispone solo di un campione. Excel e Google Sheets offrono entrambe le funzioni: STDEV.P (popolazione) e STDEV.S (campione).
Esempio di Calcolo Passo per Passo
Considera l'insieme: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (8 valori).
- Media: (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
- Scarti dalla media: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Scarti al quadrato: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Somma degli scarti al quadrato: 32
- Varianza popolazione: 32 / 8 = 4
- Deviazione standard popolazione: σ = √4 = 2
- Varianza campione: 32 / 7 ≈ 4,571
- Deviazione standard campione: s ≈ 2,138
Quando Si Usa la Deviazione Standard
La deviazione standard è uno degli indicatori più usati in statistica descrittiva e inferenziale. In controllo qualità industriale per verificare che un processo produca pezzi entro tolleranze specifiche (Six Sigma significa avere < 3,4 difetti per milione). In finanza rappresenta la volatilità di un titolo o portafoglio: quanto il rendimento oscilla intorno al rendimento medio. In scienze sperimentali per esprimere l'incertezza di una misura. Nella distribuzione normale, il 68% dei dati cade entro ±1σ dalla media, il 95% entro ±2σ e il 99,7% entro ±3σ — la celebre regola "empirica" o "regola 68-95-99,7".
Coefficiente di Variazione
Per confrontare la dispersione di gruppi con medie molto diverse, si usa il coefficiente di variazione (CV), definito come deviazione standard divisa per la media (σ / μ), spesso espresso in percentuale. Esempio: due classi con media voto 7 e deviazione 1, e con media 8 e deviazione 1,1 hanno CV rispettivamente del 14,3% e 13,75%, quindi dispersione relativa molto simile nonostante la deviazione assoluta sia diversa.
Domande Frequenti
Devo dividere per N o per N−1?
Per N quando hai TUTTI i dati della popolazione di interesse; per N−1 quando hai solo un campione e vuoi stimare la deviazione della popolazione. La differenza è significativa per campioni piccoli, trascurabile per campioni grandi.
Una deviazione standard di 0 cosa significa?
Significa che tutti i dati sono uguali tra loro: nessuna variabilità. È un caso limite raro nelle situazioni reali.
Qual è la differenza tra deviazione standard e varianza?
La varianza (σ²) è la deviazione standard al quadrato. Si lavora più spesso con la deviazione standard perché ha la stessa unità di misura dei dati ed è quindi più interpretabile. La varianza è invece più comoda nei calcoli perché non richiede l'estrazione della radice quadrata.
Cosa significa "1 sigma" o "3 sigma" in finanza?
Indica intervalli di confidenza intorno al rendimento medio: un movimento di 1σ è "normale" (capita ~68% delle volte), uno di 3σ è eccezionale (~0,3%). Eventi oltre 3σ sono spesso citati nei "cigni neri" di Taleb.